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Espacios. Vol. 37 (Nº 26) Año 2016. Pág. E-2

O logaritmos neperianos: Algumas considerações históricas

Natural logarithms: Some historical considerations

Antonio Sérgio COBIANCHI 1

Recibido: 27/04/16 • Aprobado: 10/05/2016

Conteúdo

1. Introdução

2. Um panorama da gênese de logaritmos

3. Conclusões

Referências

1. Introdução

Cajori (2007) ressalta que os miraculosos recursos do cálculo moderno, são devidos a três importantes invenções: a notação numérica indo-arábica, as frações decimais, e os logaritmos. Os logaritmos foram inventados por John Napier (1550-1617) e aprimorados por Henry Briggs (1561-1631). Não existe certeza da grafia correta de Napier, que pode ser Neper, Nepair ou Naipper. O nome Napier se afrancesou, convertendo-se em Néper, que originou o termo "logaritmo neperiano. (COLLETE, 2000, p. 304)

O panorama na da época da criação dos logaritmos, mostra que a Matemática passava por uma grande evolução nos séculos XVI e XVII.  Ríbnikov (1987, p. 138) afirma que, principalmente com os trabalhos de François Viète (1540-1603), na Matemática europeia do século XVI, a álgebra tornou-se a ciência de soluções de equações, com métodos de solução de equações dos primeiros quatro graus. Os resultados de Viète, um jurista francês ligado à corte de Henrique IV (1553-1610) integravam-se no desenvolvimento da teoria das equações, onde se encontram algumas das primeiras representações de número por letras. (STRUIK, 1997, p. 150)

Os algebristas aperfeiçoaram a formulação simbólica da mesma e se empenharam em formular e resolver problemas da teoria geral das equações algébricas. A trigonometria se separou da astronomia, e seus resultados passaram a ter um grau suficiente de generalidade. A herança geométrica dos antigos foi totalmente assimilada pelos cientistas.

A geografia, a física e a astronomia, livres dos dogmas que a embutiam, mudaram rapidamente a percepção que a humanidade tinha do universo. O sistema heliocêntrico do polonês Nicolau Copérnico (Niklas Koppernigk) (1473-1543) depois de lutar durante quase um século contra as resoluções da Igreja, tinha encontrado a aceitação. Feito graças ao alemão Johannes Kepler (1571-1630) que formulava suas três leis do movimento planetário, livrando a astronomia do universo geocêntrico dos gregos. Na Itália nesta mesma época, Galileu Galilei (1564-1643) estabelecia as fundações da ciência da mecânica. Após cursar a Universidade de Cracóvia, Copérnico dirigiu-se à Itália e ali estudou Astronomia, Medicina e Direto. Mais tarde tornou-se professor de Matemática, Astronomia e Medicina em várias universidades europeias, retornando à Polônia em 1505. No ano seguinte começou a desenvolver um sistema astronômico com base em suas observações dos corpos celestes e logo constatou que a hipótese geocêntrica não era compatível com a realidade. Seus trabalhos na Astronomia levaram-no a estudar profundamente a Trigonometria. (GARBI, 2006, p. 118)

A circunavegação do globo pelo português Fernão de Magalhães (1480?-1521), no início do século XVI, proporcionou uma nova era de exploração marítima que possibilitou o conhecimento de várias partes do mundo. Em 1569 Gerhard Mercator (1512-1594) publicou o seu novo mapa do mundo, acontecimento que teve um impacto decisivo na navegação. A Matemática se desenvolve (Ríbnikov, 1987) em várias frentes. Além disso, sofrem transformações todos os elementos de sua estrutura: se desenvolvem novas teorias, se propõem e comprovam várias hipóteses, se acumulam feitos, que completam a estrutura de vários campos desta ciência, amplia-se a esfera de aplicação de métodos matemáticos, mudam as ideias gerais sobre a natureza da Matemática e suas possibilidades.

Todo esse desenvolvimento do conhecimento científico ocorrido no século XVI, exigia uma invenção que livrasse os estudiosos de passarem grande parte de seu tempo fazendo cálculos tão dispendiosos naquela época. Ríbnikov (1987) reforça essa ideia afirmando que, os estudiosos de matemática desse tempo passaram por grandes dificuldades de caráter prático-computacional. Essas dificuldades se concentravam em torno de problemas de confecção de tabelas de funções trigonométricas e também relacionada com esse problema a determinação do valor do número. Outro problema consistia na busca de algoritmos simples e confiáveis de determinação das raízes de equações com coeficientes numéricos dados. Os recursos aritméticos de cálculo se limitavam às operações com números inteiros e frações simples, o caminho das frações decimais estava apenas no começo. Elas foram introduzidas pela primeira vez na Europa no ano de 1585, por Simon Stevin (1548-1620), o mais influente estudioso de matemática dos Países Baixos no século XVI, na obra "La Disme" (A Décima). Stevin tinha pormenorizado a ideia, juntamente com uma sugestão para a notação. Na opinião de Katz (2010), Napier foi o primeiro responsável pela introdução da nossa notação moderna para as frações decimais. Um pouco antes de publicar o Constructio, depois de notar que a precisão da computação requer a utilização de grandes números como 10.000.000 como a base para a tabela dos senos, faz uma observação. Afirmou ele que, nas tabelas de computação, estes números grandes podem mais uma vez tornados ainda maiores colocando um ponto depois do número e acrescentando dígitos. E que em esses números distinguidos assim por um ponto ao seu meio, o que quer que esteja escrito depois do ponto é uma fração, o denominador da qual é unidade com tantos dígitos depois dela como há algarismos depois do ponto.

Katz (2010, p.525) afirma que a publicação das tabelas de Napier, nas quais estas frações decimais apareciam, rapidamente resultou na sua utilização generalizada para toda a Europa. Até aquela época, os cálculos eram realizados a mão, o que reforçava a necessidade de novas descobertas nesse campo.

Na opinião de Ríbnikov (1987), as tabelas trigonométricas tiveram um grande papel naquela época, e também na criação dos logaritmos. No final do século XVI e no começo do XVII elas foram confeccionadas por Copérnico, Kepler e seus discípulos. Segundo Struik (1997), continham os valores de todas as seis funções trigonométricas de dez em dez segundos com dez decimais, e algumas delas como a de Bartholomäus Pitiscus (1561-1613) publicada em 1613, chegaram a quinze casas decimais. Eram usadas por navegantes, astrônomos e construtores e essas tabelas surgiram em diferentes países e em diferentes variantes.

Nessas tabelas, o raio da circunferência geratriz escolhida para o cálculo, era de grande magnitude. Ríbnikov (1987) declara que esse fato é explicado pela ausência das frações decimais, sendo necessário obter os resultados em números inteiros e também a necessidade de assegurar uma exatidão suficientemente grande para esses cálculos. As preocupações fundamentais provocavam a determinação com exatidão particularmente alta dos senos (ou cordas) de arcos pequenos, para que nos cálculos não se refletisse a acumulação de erros. Para isso, usava-se o método dos antigos, de duplicação sucessiva dos lados de um polígono regular inscrito.

Para facilitar os cálculos de tabelas (Ríbnikov) os estudiosos de matemática inventaram procedimentos particulares em que tinham grande importância algumas relações trigonométricas particulares. O objetivo fundamental desses estudiosos era a redução, de acordo com as possibilidades, dos cálculos a operações mais simples, como a adição e a subtração; objetivo que também estava no cálculo com funções trigonométricas utilizando tabelas. Tentavam evitar a multiplicação e a divisão direta de números de várias cifras, reduzindo a procedimentos de adição e de subtração, chamados de método prostaférese, do tipo de:  e outras fórmulas similares. O método de prostaférese era conhecido pelos astrônomos árabes no século X. Elas são redescobertas, de maneira provavelmente independente por um padre de Nüremberg, Johannes Werner (1468-1528) em um tratado de trigonometria esférica em cinco livros atualmente perdidos: De triangulis per maximorum circulorum segmenta constructis libri V. As fórmulas foram popularizadas no Ocidente por Jacob Christmann (1554-1613), astrônomo de Heidelberg. Sua obra Theoria Luna contém um extrato da trigonometria de Werner, em particular a explicação do método prostaférese. Naquele momento essas fórmulas não parecem que desempenharão mais tarde o papel de simplificar o cálculo das multiplicações. Elas foram revistas e desenvolvidas pelo famoso astrônomo Tycho Brahe (1546-1601) e seu rival Nikolaus Reimers chamado Raymarus Ursus (1551-1600). (COMMISSION INTER-IREM D'EPISTÉMOLOGIE ET D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES, HISTOIRES DE LOGARITHMES, 2006)

2. Um panorama da gênese de logaritmos

John Napier, Barão de Merchiston (Maor), nasceu no Castelo de Merchiston, perto de Edimburgo, na Escócia. Os detalhes de sua infância são imprecisos. Sabe-se que com treze anos foi para a Universidade de St. Andrews, onde estudou religião e suas atividades iniciais não sugeriam um futuro de criatividade matemática. Seu interesse principal estava na religião, ou com maior precisão, no ativismo religioso. Era um protestante ardoroso e firme oponente do papado, e publicou seus pontos de vista em A Plaine Discovery of the whole Revelation of Saint John (1593), livro que atacava duramente a Igreja Católica, afirmando que o papa era o Anticristo e conclamando o rei escocês Jaime VI (que mais tarde se tornaria o rei James I da Inglaterra) a expurgar de sua corte todos os "papistas, ateus e hereges".

Maor (2003) afirma que os interesses de Napier iam além de assuntos religiosos. Dono de terras e interessado na melhoria das colheitas e do gado, ele experimentou vários estercos e sais para fertilizar o solo. Em 1579 inventou um parafuso hidráulico para controlar o nível da água nas minas de carvão. Demonstrou também interesse por questões militares, motivado pelo temor geral de que o rei Felipe II da Espanha (1527-1598) estivesse se preparando para invadir a Inglaterra. Napier fez planos para construir enormes espelhos, capazes de incendiar os navios inimigos, e também planos para construir peças de artilharia com a finalidade de destruir pessoas. Não se sabe se alguma dessas máquinas chegou a ser construída. Como ele era uma pessoa que possuía interesses bem diversificados, tornou-se personagem de muitas histórias. Mas todas essas suas atividades foram esquecidas, e seu nome está vinculado à história devido a uma ideia matemática abstrata, os logaritmos, que ele empregou vinte anos para desenvolver.

Henry Briggs, o segundo personagem da gênese dos logaritmos, foi professor de geometria do Gresham College de Londres e posteriormente professor da Universidade de Oxford. Foi o primeiro professor saviliano, de geometria de Oxford, e grande admirador de Napier. O termo saviliano significa titular de uma cátedra fundada por Sir Henry Savile (1549-1622). Em 1619, Savile fundou duas cátedras professorais em Oxford, uma de Geometria e outra de Astronomia. Briggs foi o primeiro ocupante da cadeira saviliana de Geometria de Oxford.

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3. Conclusões

Para situarmos na História da Matemática a criação dos logaritmos, abordamos tópicos sobre o grande desenvolvimento dessa ciência e de outras, ocorrido nos séculos XVI e XVII, impulsionados por uma série de fatores como as navegações. Essas foram facilitadas com o novo mapa do mundo criado por Mercador, e também com a circunavegação do globo realizado por Fernão de Magalhães. Ressaltamos também, o grande desenvolvimento da geografia e da física que ficaram livres dos dogmas que impediam suas evoluções. E também o impulso dado ao progresso naquela época com a substituição do sistema geocêntrico dos gregos antigos, pelo sistema heliocêntrico desenvolvido por Copérnico e Kepler. Outro fator importante que incrementou ainda mais esse progresso foi o estabelecimento dos fundamentos da mecânica, por Galileu.

Para acompanhar toda essa evolução da humanidade, a Matemática se desenvolveu em várias frentes, como a aceitação da notação indo-arábica, o estabelecimento das frações decimais por Stevin, os resultados de Vietè com as primeiras representações de números por letras que favoreceram os cálculos algébricos e com isso, a álgebra tornou-se a ciência das soluções de equações. Outro fator de grande progresso foi a introdução das tabelas trigonométricas confeccionadas por Copérnico e Kepler. Nessa época importantes tópicos da Matemática, fundamentais para o surgimento dos logaritmos, foram introduzidos. Entre eles a notação para a potenciação, as relações entre Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas, e também a introdução do novo conceito geométrico-mecânico de pontos em movimento. Nesse período, a herança geométrica grega foi totalmente assimilada pelos estudiosos da época.

Mas, ainda faltava um procedimento para livrar os praticantes do cálculo da grande dificuldade gerada pelo uso do ábaco. O grande progresso da humanidade exigia um procedimento para a realização dos cálculos mais rápidos sem a utilização do ábaco que dificultava a resolução dos mesmos. As fórmulas de Werner e o método prostafere redescobertos na época, favoreceram Neper na sua construção dos logaritmos. A partir das tabelas de logaritmos, as multiplicações eram transformadas em adições, facilitando os cálculos daquela época e utilizados na atualidade. Destacamos que os tópicos abordados nesse artigo estimulam a criação de procedimentos de ensino, que relacionem Progressões Aritméticas e Geométricas com a Trigonometria e também a utilização de noções de Derivadas e Integrais. 

Referências

BOYER, Carl B., História da Matemática. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda., 1996.

CAJORI, Florian, A History of Mathematical Notations – 1. New York: Dover Publications, INC., 1993.

CAJORI, Florian, Uma História da Matemática. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2007.

COLLETTE, Jean-Paul, Historia de las Matemáticas. México: Siglo Veintiuno Editores, S. A., 2000.

COMMISSION INTER-IREM D'EPISTÉMOLOGIE ET D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES, Histoires de Logarithmes. Paris: Ellipses Édition Marketing S.A, 2006.

DAVIS, Harold T., Tópicos de História da Matemática para uso em Sala de Aula: Computação. São Paulo: Atual Editora, 1992.

EVES, Howard, Introdução à História da Matemática. Campinas: Editora da Unicamp, 1995.

GARBI, Gilberto, G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2006.

HOGBEN, Lancelot, Maravilhas da Matemática. Porto Alegre: Editora Globo, 1950.

KATZ, Victor J., História da Matemática. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 2010.

MAOR, Eli, : A História de um Número. Rio de Janeiro: Record, 2003.

PEIFFER, Jeanne; Dahan-Dalmedico, Amy. Une Histoire des Mathématiques: Routes et Dédales. Paris: Éditions du Seuil, 1986.

RÍBNIKOV, K., Historia de las Matemáticas. Moscou: Editorial Mir Moscú, 1987.

STRUIK, Dirk, J., História Concisa das Matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1997.

1. Prof. Dr. Email: cobi@debas.eel.usp.br